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26 个比较概率大小的问题

文章来源:澳门威尼斯人网址;时间:2020-10-15 14:47

你的数学直觉怎么样?你能凭借直觉,迅速地判断出谁的概率大,谁的概率小吗?下面就是 26 个这样的问题。如果你感兴趣的话,你可以先扫一遍所有的问题,再逐一阅读答案,看看你猜对了多少。这篇文章很长,你可以考虑把它加入书签,每天看几个问题。

1.A 、 B 、 C 、 D 四人玩扑克牌游戏, A 、 C 两人同盟, B 、 D 两人同盟。将除去大小王的 52 张牌随机分发给四人(每人获得 13 张牌)后,下面哪种情况的可能性更大一些?

A.A 、 C 两人手中都没有梅花
B.A 、 C 两人手中囊括了所有的梅花
C.上述两种情况的出现概率相同

A 、 C 两人手中都没有梅花,等价于 B 、 D 两人手中囊括了所有的梅花,它的概率与 A 、 C 两人手中囊括所有梅花的概率相同。因此,这个问题的答案显然是 C 。

2.我给 10 个好朋友分别写了一封信,并把这 10 个人的地址分别写在了 10 个信封上。如果我随机地将这 10 封信装进 10 个信封里(每封信都装进了一个不同的信封里),下面哪种情况的可能性更大一些?

A.恰好有 9 封信装进了正确的信封
B.所有 10 封信都装进了正确的信封
C.上述两种情况的出现概率相同

你或许会以为,全都装对的可能性很低,装错一个的可能性则略高一些。然而事实上,这道题的答案是 B 。原因非常简单:恰好有 9 封信装对,这是根本不可能的——如果其中 9 封信都装对了,剩下的那一封信肯定也装对了。

实际上, 10 封信的排列方式一共有 10! = 3628800 种,其中装对的信有 0, 1, 2, 3, …, 9, 10 封的情况数分别为 1334961, 1334960, 667485, 222480, 55650, 11088, 1890, 240, 45, 0, 1 。可以看到,绝大多数时候,这个数列里的数都是不断递减的;也就是说,装对的信越多,概率就越低,这个直觉确实是准确的。唯一的例外,就是这个数列的最后两项,其背后的原因正如刚才所说。

你或许发现了一个有趣的现象:数列的第二项正好比第一项小 1 。这并不是巧合。有一个普遍的规律是,假设把 n 封信装进 n 个信封里,那么当 n 为偶数时,装对 1 封信的情况数比全都装错的情况数少 1 ,当 n 为奇数时,装对 1 封信的情况数比全都装错的情况数多 1 。我们下面就来证明这一点。

假设把 n 封信装进 n 个信封里,全都装错的情况有 Dn 种。那么,数列 D1, D2, D3, … 满足一个非常简单的递推关系: Dn = (n – 1) (Dn-1 + Dn-2) 。为什么呢?我们慢慢来分析。由于每封信都装错了,因此第 1 封信没有装进 1 号信封。无妨假设它装进了 2 号信封。那么,第 2 封信装到哪儿去了呢?如果第 2 封信正好装进了 1 号信封,那么剩下的 n – 2 封信就有 Dn-2 种可能的装法。如果第 2 封信没有装进 1 号信封呢?情况就变成了这样:第 2, 3, 4, …, n 封信装进了编号分别为 1, 3, 4, …, n 的信封里,其中第 2 封信不在 1 号信封里,第 3 封信不在 3 号信封里,第 4 封信不在 4 号信封里……总之,这 n – 1 封信中,每封信都正好有一个禁放的信封。于是,这就构成了 Dn-1 种可能的装法。当然,第 1 封信也有可能装进了 3 号信封里,也有可能装进了 4 号信封里……因此,我们就有 Dn = (n – 1) (Dn-1 + Dn-2) 。

在这个式子的左右两边同时减去 n · Dn-1 ,于是得到:

Dn – n · Dn-1 = – (Dn-1 – (n – 1) · Dn-2)

令 An = Dn – n · Dn-1 ,于是 An 满足递推关系式:

An = – An-1

可以验证:

A2 = D2 – 2 · D1 = 1 – 0 = 1

于是有:

An = (-1)n

即 Dn – n · Dn-1 = (-1)n 。而 n · Dn-1 正好表示把 n 封信装进 n 个信封里恰好装对 1 封信的情况数。

3.桌子上有 A 、 B 两个不透明的盒子,盒子 A 里有 m 个白色小球和 1 个黑色小球,盒子 B 里有 n 个白色小球和 1 个黑色小球。你需要先从盒子 A 里随机取出一个小球,再从盒子 B 里随机取出一个小球。如果两个小球都是黑色的,那么你就获胜了。下面哪种情况下,你获胜的概率更大一些?

A.m = 5,n = 5
B.m = 4,n = 6
C.上述两种情况的获胜概率相同

你或许会以为,反正都是 10 个白色小球,怎么放应该没关系吧。而事实上,在 A 、 B 两种情况下,获胜的概率还真的不一样。在情况 A 中,你获胜的概率为 (1/6) × (1/6) = 1/36 ;在情况 B 中,你获胜的概率为 (1/5) × (1/7) = 1/35 。因此,这个题目的答案是 B 。

如果我们把规则改为,先随机选择其中一个盒子,再从这个盒子中随机取出一个小球,取到黑色小球即获胜,那么情况 B 的获胜概率仍然会更大一些。在情况 A 中,你获胜的概率为 (1/2) × (1/6) + (1/2) × (1/6) = 1/6 ;在情况 B 中,你获胜的概率为 (1/2) × (1/5) + (1/2) × (1/7) = 6/35 。

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